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    古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，
    而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…，第n个三角形数记为an，计算a2-a1，a3-a2，a4-a3，…由此推算，a100-a99=
    100
    100
    ，a100=
    5050
    5050
    ．
     
    分析：本题先根据已知条件，得出自然数是1，2，3，4，5，6，7，…，三角数是1，3，6，10，15，21，28，…，再从中找出规律为：第几个三角数就是它的位置之前的自然数和本身之和，即可找出结果．
    解答：解：根据题意得：
    自然数是1，2，3，4，5，6，7，…，
    三角形数1，3，6，10，15，21，28，…，
    n(n+1)
    2
    ，
    第几个三角数就是它的位置之前的自然数和本身之和，
    正方形数1，4，9，16，25，36，49，…，n2，
    则a100-a99=
    100×101
    2
    -
    99×100
    2
    =5050-4950=100；a100=5050．
    故答案为：100；5050
    点评：此题考查了规律型：数字的变化类，以及图形的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    18、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …这样的数称为“三角形数”，而把1、4、16┅这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．
    请再写出一个符合这一规律的等式：
    25=10+15（答案不唯一）
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•澄海区模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．
    （1）第5个三角形数是
    15
    15
    ，第n个“三角形数”是
    n(n+1)
    2
    n(n+1)
    2
    ，第5个“正方形数”是
    25
    25
    ，第n个正方形数是
    n2
    n2
    ；
    （2）经探究我们发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．
    例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④
    25=10+15
    25=10+15
    ，⑤
    36=15+21
    36=15+21
    ，…．
    请写出上面第4个和第5个等式；
    （3）在（2）中，请探究第n个等式，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）． 如果规定a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…；b1=1，b2=4，b3=9，b4=16，…；y1=2a1+b1，y2=2a2+b2，y3=2a3+b3，y4=2a4+b4，…，那么，按此规定，y6=
    78
    78
    ，yn=
    2n2+n
    2n2+n
    （用含n的式子表示，n为正整数）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角数”；把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以写成两个相邻的“三角形数”之和，“正方形数”36可以写成两个相邻的“三角形数”
    15
    15
    与
    21
    21
    之和；“正方形数”n2可以写成两个相邻的“三角形数”
    n(n-1)
    2
    n(n-1)
    2
    与
    n(n+1)
    2
    n(n+1)
    2
    之和，其中n为大于1的正整数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
    （1）下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；

    ①1=1
    ②1+2=
    (1+2)×2
    2
    =3
    ③1+2+3=
    (1+3)×3
    2
    =6
    ④
    1+2+3+4=
    (1+4)×4
    2
    1+2+3+4=
    (1+4)×4
    2
    ；
    （2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式
    1+2+3+…+9=
    (1+9)×9
    2
    1+2+3+…+9=
    (1+9)×9
    2
    ；
    （3）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（1）观察下列点阵图，并在⑤看面的黄线上写出相应的等式．

    ①1=12
    ②1+3=22
    ③3+6=32
    ④6+10=42
    ⑤
    10+15=52
    10+15=52
    ；
    （4）通过猜想，写出（3）中与第n个点阵相对应的等式
    (1+n-1)(n-1)
    2
    +
    (1+n)×n
    2
    =n2
    (1+n-1)(n-1)
    2
    +
    (1+n)×n
    2
    =n2
    ；
    （5）判断225是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？

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