已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h₁，h₂，h₃，△ABC的高为h，请你探索以下问题：
（1）若点P在一边BC上（图1），此时h₃=0，问h₁、h₂与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）若当点P在△ABC内（图2），此时h₁、h₂、h₃与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）若点P在△ABC外（图3），此时h₁、h₂、h₃与h之间有怎样的数量关系______．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．）

解：

（1）h=h₁+h₂，理由如下：
连接AP，则 S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
∴ $\text{[math]}$ BC•AM= $\text{[math]}$ AB•PD+ $\text{[math]}$ AC•PF
即 $\text{[math]}$ BC•h= $\text{[math]}$ AB•h₁+ $\text{[math]}$ AC•h₂
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h₁+h₂．

（2）h=h₁+h₂+h₃，理由如下：
连接AP、BP、CP，则 S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
∴ $\text{[math]}$ BC•AM= $\text{[math]}$ AB•PD+ $\text{[math]}$ AC•PF+ $\text{[math]}$ BC•PE
即 $\text{[math]}$ BC•h= $\text{[math]}$ AB•h₁+ $\text{[math]}$ AC•h₂₊ $\text{[math]}$ BC•h₃
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h₁+h₂+h₃．

（3）h=h₁+h₂-h₃．
当点P在△ABC外时，结论h₁+h₂+h₃=h不成立．此时，它们的关系是h₁+h₂-h₃=h．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC-S_△PBC，
即 $\text{[math]}$ BC•AM= $\text{[math]}$ AB•PD+ $\text{[math]}$ AC•PE- $\text{[math]}$ BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h₁+h₂-h₃=h，
即h₁+h₂-h₃=h．
分析：把点P与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．
点评：此题考查等边三角形的性质，运用等积法建立关系构思巧妙，也是此题的难点．

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．
在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h₃=0，可得结论：h₁+h₂+h₃=h．
在图（2），（3），（4），（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2），（3），（4），（5）中，h₁、h₂、h₃、h之间的关系；（直接写出结论）图②-⑤中的关系依次是：
h₁+h₂+h₃=h；h₁-h₂+h₃=h；h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h；
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论；
（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h₁、h₂、h₃、h₄，桥形的高为h，则h₁、h₂、h₃、h₄、h之间的关系为：h₁+h₃+h₄=

m-n

．图（4）与图（6）中的等式有何关系．

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31、已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．
“若点P在一边BC上（如图1），此时h₃=0，可得结论h₁+h₂+h₃=h”
请直接应用上述信息解决下列问题：
（1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h₁、h₂、h₃与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．

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如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．在图①中，点P是边BC的中点，由S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC得，

AB．h₁+

AC．h₂=

BC．h，可得h₁+h₂=h又因为h₃=0，所以：h₁+h₂+h₃=h．
图②～⑤中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图②～⑤中，h₁、h₂、h₃、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）说明图②所得结论为什么是正确的；
（3）说明图⑤所得结论为什么是正确的．

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科目：初中数学 来源： 题型：

（2007•临夏州）[（1）-（3），10分]如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．
在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h₃=0，可得结论：h₁+h₂+h₃=h．
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）--（5）中，h₁、h₂、h₃、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h₁、h₂、h₃、h₄，桥形的高为h，则h₁、h₂、h₃、h₄、h之间的关系为：

m（h₁+h₂+h₃）-n（h₁+h₃-h₄）=（m+n）h

；图（4）与图（6）中的等式有何关系？

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已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h₁，h₂，h₃，△ABC的高为h，请你探索以下问题：
（1）若点P在一边BC上（图1），此时h₃=0，问h₁、h₂与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）若当点P在△ABC内（图2），此时h₁、h₂、h₃与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）若点P在△ABC外（图3），此时h₁、h₂、h₃与h之间有怎样的数量关系

h=h₁+h₂-h₃

．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．）

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