Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60^。，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高。
（1）求证： AE=GF；
（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积。

Answer 1

（1）证明： ∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形
                      ∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120^。，
                     又∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB=30^。
                         ∴∠DBC=∠ADB=30^。   ∴∠BDC=90^。   
                  由已知，∴AE∥DC
                     又∵AE为等腰三角形ABD的高，
                    ∴E是BD的中点，
                     ∵F是DC的中点，
                    ∴EF∥BC      ∴EF∥AD       ∴四边形AEFD是平行四边形    
                    ∴AE=DF  
                    ∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高
                       ∴GF=DF     ∴AE=GF
（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30^。，∵AE=1，∴AD=2
                 在Rt△DGC中 ∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=
                 由（1）知： 在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵，∴
                  ∴四边形DEGF的面积=EF·DG=。