Question

（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B与∠C的角平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于M，N，问M与N两点是什么关系？连接AO得到的是什么线？图中有几个等腰三角形？
（2）在△ABC中，AB=AC，M，N是对应点，O为MN的中点，则BO，CO分别是∠B与∠C的角平分线，这个结论对吗？为什么？

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，OB，OC平分∠ABC，∠ACB且相交于点O
∴OA与△ABC的高重合，
∵MN∥BC，
OM=ON，即点O为MN的中点，
∴M与N是对称点，关于点O对称；
AO所在的直线是等腰三角形的对称轴，
图中共有5个等腰三角形，
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，
∵OB，OC平分∠ABC，∠ACB且MN∥BC
∴△BOM，△CON，△BOC，△AMN，△ABC均为等腰三角形．

（2）结论不正确；
∵O为MN中点，即OM=ON，又MN∥BC，∴∠BMO=∠CNO，BM=CN
∴△BOM≌△CON，∴∠OBM=∠OCN，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB
∴∠OBC=∠OCB，
但不能肯定∠OBM=∠OBC，
即不能确定其为角平分线．
∴此问结论不正确．
分析：（1）在△ABC中，由AB=AC，可得OA与△ABC的高重合，所以可得M，N关于点O对称，再根据角之间的关系可得等腰三角形；
（2）第二问中，只能确定∠OBM=∠OCN，∠OBC=∠OCB，但不能肯定∠OBM=∠OBC，所以结论不成立．
点评：ABC本题考查了等腰三角形的性质及判定；找全等三角形时，要由易到难，逐一寻找，做到不重不漏．