Question

如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且ÐBCP=ÐACD。

（1）判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：

（2）若AB=9，BC=6，求PC的长。    

 

Answer 1

【答案】

（1）直线PC与圆O相切（2）

【解析】解：（1）直线PC与圆O相切。理由如下：：

如图，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN，

∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。

∵ÐBAC=ÐBNC，∴ÐBNC=ÐACD。

∵ÐBCP=ÐACD，∴ÐBNC=ÐBCP。

∵CN是圆O的直径，∴ÐCBN=90°。

∴ÐBNC+ÐBCN=90°，∴ÐBCP+ÐBCN=90°。

∴ÐPCO=90°，即PC^OC。

又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。

（2）∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，即ÐOAD=90°。

∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC。

∴MC=MB。∴AB=AC。

在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，

由勾股定理，得。

设圆O的半径为r，

在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=，MC=3，OC=r，

由勾股定理，得OM ²+MC ²=OC ²，即。解得。

在△OMC和△OCP中，∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，∴△OMC～△OCP。

∴，即。∴。

（1）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE=90°，由AD∥BC得∠ACD=∠BAC，而

∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论。

（2）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM=CM=BC=3，根据线段垂直平分线的性质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=  。设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM－r=，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出 ，从而由△OMC～△OCP得相似比可计算出PC。