Question

已知：如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于E点，交DF于M，F是BC延长线上一点，且CE=CF．
（1）求证：BM⊥DF；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求ME•MB．

Answer 1

（1）证明：在△BCE和△DCF中，
∵，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC=∠FDC（全等三角形的对应边相等），即∠EBC=∠EDM，
在△BCE和△DME中，
∵，
∴△BCE∽△DME，
∴∠BCE=∠DME=90°（相似三角形的对应角相等），即BM⊥DF；

（2）解：∵BC=2，
∴BD=2．
又∵BE平分∠DBC交DF于M，BM⊥DF，
∴BD=BF（等腰三角形“三合一”的性质），DM=FM，
∴CF=2-2．
在△BMF和△DME中，
∠MBF=∠MDE，∠BMF=∠DME=90°，
∴△BMF∽△DME，
∴=，
∴=，即ME•MB=MD²，
∵DC²+FC²=（2DM）²，即2²+（2-2）²=4DM²，
∴DM²=4-2，即ME•MB=4-2．
分析：（1）通过全等三角形△BCE≌△DCF的对应角∠EBC=∠FDC、对顶角∠BEC=∠DEM可以证得△BCE∽△DME，然后由相似三角形的对应角相等推知∠BCE=∠DME=90°，即BM⊥DF；
（2）由等腰三角形的判定与性质知BM是等腰三角形BDF的中垂线．根据相似三角形△BMF∽△DME的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式=，即ME•MB=MD²，最后在直角△DCF中利用勾股定理来求MD²的值．
点评：本题综合考查了全等三角形、正方形、相似三角形的有关知识．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．