Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，连接CE，交AD于点H．
（1）求证：AD⊥CE；
（2）如过点E作EF∥BC交AD于点F，连接CF，求证：四边形CDEF是菱形．

Answer 1

证明：
（1）∵∠ACD=∠AED=90°，
∠CAD=∠EAD，AD=AD，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，
∵AD是角平分线，
∴AD⊥CE，

（2）由△ACD≌△AED，
∴CH=HE，
∵EF∥CD，
∴∠FEH=∠DCH，
∵∠FHE=∠DHC，
∴△CHD≌△EHF，
∴EF=CD，
∵EF∥CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵AD⊥CE，
∴四边形CDEF是菱形．
分析：（1）首先证明△ACD≌△AED，可得到AC=AE，再根据等腰三角形的性质；三线合一，可证出AD⊥CE，
（2）首先证明△CHD≌△EHF，可得到EF=CD，再有FE∥CD，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形，再加条件CE⊥FD可得到结论
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形与平行四边形的判定，以及角平分线的性质，题目综合性较强，关键是需要同学们熟练掌握基础知识．