Question

如图1，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（，1），在BC边上选取适当的点D，将△OCD沿OD翻折，点C落在点E处，得到△OED．
（1）若点E与点A、点B构成等腰三角形，求点E的坐标；
（2）若点E在一次函数y=2x-1的图象上（如图2），求点D的坐标；
（3）当线段OD与直线EA垂直时（如图3），求△CDE的外接圆的半径．

Answer 1

解：（1）∵B（，1），
∴AB=OC=1，
OB==2，
根据翻折的性质，OE=OC=1，
①AB=BE时，则OE+BE=OB=2，
所以，点O、E、B三点共线，且点E是OB的中点，
∵O（0，0），B（，1），
∴点E的坐标为（，），
②AE=BE时，根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在AB的垂直平分线上，
所以，点E的纵坐标为，
过点E作EF⊥OA于点F，则OF===，
所以，点E的坐标为（，），
③AE=AB时，∵OE=AE=1，
∴点E在OA的垂直平分线上，
∴OF=OA=，
∴EF===，
∴点E的坐标为（，），
综上所述，点E的坐标为（，）；

（2）如图2，过点E作OC的平行线交BE于F，交OA于G，可得EF⊥BC，EG⊥OA，
∵点E在一次函数y=2x-1的图象上，
∴设点E坐标为（a，2a-1），
在Rt△OEG中，OE²=EG²+OG²，
即1²=（2a-1）²+a²，
整理得，5a²-4a=0，
解得a₁=0（舍去），a₂=，
∴OG=，EG=2×-1=，
∴EF=FG-EG=1-=，
根据翻折，∠DEO=∠OCD=90°，
∴∠DEF+∠OEG=180°-90°=90°，
∵∠EOG+∠OEG=90°，
∴∠EOG=∠DEF，
又∵∠EDF=∠OGE=90°，
∴△OGE∽△EFD，
∴=，
即=，
解得DF=，
∴CD=CF-DF=OG-DF=-=，
∴点D的坐标为（，1）；

（3）如图3，连接CE，根据翻折对称性，CE⊥OD，
∵AE⊥OD，
∴A、E、C三点共线，
∵∠OAE+∠OCE=90°，∠COD+∠OCE=90°，
∴∠OAE=∠COD，
矩形OABC的对角线AC=OB=2，
∵cos∠OAE==，
cos∠COD==，
∴=，
解得OD=，
∵OD是Rt△OCD与Rt△ODE的斜边，
∴点O、C、D、E四点共圆，且OD是外接圆的直径，
∴△CDE的外接圆的半径为：OD=×=．
分析：（1）分①AB=BE时，根据勾股定理求出OB=2，从而判断出O、E、B三点共线，从而确定点E为矩形OABC的中心，然后根据点B的坐标写出即可；
②AE=BE，然后根据等腰三角形三线合一的性质可以判定点E的纵坐标为，再根据翻折的性质可得OE=OC=1，过点E作EF⊥OA于点F，根据勾股定理求出OF的长度，即可得到点E的坐标；
③AE=AB时，可以得到AE=OE，根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在OA的垂直平分线上，然后利用勾股定理求出点E到OA的距离EF的长度，即可得解；
（2）过点E作OC的平行线交BE于F，交OA于G，可得EF⊥BC，EG⊥OA，然后根据直线解析式设出点E的坐标，利用勾股定理列式求解得到点E的坐标，然后证明△OGE和△EFD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出DF的长度，然后求出CD的长度，即可得到点D的坐标；
（3）连接CE，根据翻折的对称性可得CE⊥OD，再根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得A、E、C三点共线，再根据直角三角形两锐角互余求出∠OAE=∠COD，再根据勾股定理求出AC的长度，然后利用∠OAE与∠COD的余弦值相等列式求解即可得到OD的长度，再证明△CDE的外接圆是以OD为直径的圆，从而得解．
点评：本题是对一次函数的综合考查，主要利用了翻折变换的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，（1）要根据等腰三角形的腰进行讨论，（2）先根据直线解析式求出点E的坐标是解题的关键，（3）判断出点A、E、C三点共线是解题的关键．