Question

如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，将直线DB绕点O顺时针方向旋转，交DC、AB于点E、F．
（1）证明：△DEO≌△BFO；
（2）若DB=2，AD=1，AB=，当DB绕点O顺时针方向旋转45°时，判断四边形AECF的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠CDO=∠ABO，∠DEO=∠BFO．
又∵点O是平行四边形的对称中心，
∴OD=OB．
∴△DEO≌△BFO．

（2）解：∵在△ABD中，DB=2，AD=1，AB=，
∴DB²+AD²=AB²．
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°
∵OD=OB=DB=1，
∴AD=OD=1．
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠AOD=45°．
当直线DB绕点O顺时针旋转45°时，即∠DOE=45°，
∴∠AOE=90°
∵△DEO≌△BFO，
∴OE=OF
又∵点O是平行四边形的对称中心，
∴OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形
∴四边形AECF是菱形．
分析：（1）根据已知条件证出∠CDO=∠ABO，∠DEO=∠BFO．，再根据点O是平行四边形的对称中心，得出OD=OB，即可证出△DEO≌△BFO．
（2）首先要判断四边形是什么形状，然后根据题意首先证明△OAD是等腰直角三角形，然后证明OE=OF，再根据已知条件即可证出四边形AECF的形状．
点评：此题考查了中心对称，是一道综合型试题，比较难，证明三角形全等必须要找出三个条件相等，按照判定四边形形状的定义证明该四边形为何形状．