Question

如图1：在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD和BE的交点，
（1）求证：BH=AC．
（2）如图2，当∠A=90°，其他条件不变，结论BH=AC还成立吗？得出结论，不必证明．
（3）当∠A为钝角时，如图3，其他条件不变，此时结论BH=AC还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可通过全等三角形来证BH=AC，那么关键是证三角形ADC和BDH全等．已知的条件有一组直角，∠DAC和∠EBC都是∠C的余角，因此也相等，只要再证得一组对应边相等即可得出结论．我们发现∠ABC=45°，因此三角形ABD是等腰直角三角形，因此AD=BD，这样两三角形全等的所有条件就都凑齐了，即可得出BH=AC的结论．
（2）根据当∠A=90°，其他条件不变，BH与AB重合，进而得出BH=AC；
（3）同（1）的方法完全相同，也是通过证明三角形HBD和ADC全等来证得．

解答：（1）证明：∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
在Rt△BDH和Rt△ADC中：

∠ADC=∠ADB AD=BD ∠DAC=∠CBE

∴Rt△BDH≌Rt△ADC．（ASA）
∴BH=AC．


（2）解：当∠A=90°，其他条件不变，结论BH=AC还成立，
此时BH与AB重合，进而得出BH=AC；

（3）解：如图，HB=AC仍然成立．
证明：∵∠H+∠HAE=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∵∠HAE=∠DAC，
∴∠H=∠C．
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴三角形ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠BDH=∠ADC，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC（AAS）．
∴BH=AC．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质．解答该题时，围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定对应线段相等得出是解题关键．