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如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4). 动点P从A点出发,在AB边上匀速运动. 动点Q从点B出发,在折线BCD上匀速运动,速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时,另一动点也停止运动. 设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为S(不能构成△OPQ的动点除外).

1.求出点C的坐标

2.求S随t变化的函数关系式;

3.当t为何值时,S有最大值?并求出这个最大值

 

 

1.把y=4代入y=-x+,得x=1.

        ∴C点的坐标为(1,4).

2.当y=0时,-x+=0,

∴x=4.∴点B坐标为(4,0).

过点C作CM⊥AB于M,则CM=4,BM=3.

∴BC===5.

∴sin∠ABC==.

① 0<t<4时,过Q作QN⊥OB于N,

② 

则QN=BQ·sin∠ABC=t.

∴S=OP·QN=(4-t)×t =-t2+t(0<t<4). ……………2分

②当4<t≤5时,

连接QO,QP,过点Q作QN⊥OB于N.

同理可得QN=t.

∴S=OP·QN=×(t-4)×t.

   =t2-t(4<t≤5). …………………………….3分

③当5<t≤6时,

连接QO,QP.

S=×OP×OD=(t-4)×4.

 =2t-8(5<t≤6). ……………………………….4分

S随t变化的函数关系式是.

3.①当0<t<4时,

∵-<0

当t==2时,

S最大==.  ……………………………5分

②当4<t≤5时, S=t2-t,对称轴为t=-=2,

∵>0

∴在4<t≤5时,S随t的增大而增大.

∴当t=5时,S最大=×52-×5=2. …………………………..6分

③当5<t≤6时,

在S=2t-8中,∵2>0,∴S随t的增大而增大.

∴当t=6时,S最大=2×6-8=4. …………………………………………7分

∴综合三种情况,当t=6时,S取得最大值,最大值是4. ………………………8分

解析:(1)把y=4代入直线解析式,即可求得点C的坐标;

(2)作垂线构建直角三角形,利用勾股定理和三角函数、面积的有关计算求得函数解析式,注意t的取值范围不同,S的解析式就不同。

 (3)根据(2)中的三种情况,分别求出S的最大值。

 

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(24,0)
.

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PP′
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6
x
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3
2
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6
x
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6
6
;
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(8052,0)
(8052,0)
.

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