Question

10．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l₁，l₂，l₃，l₄上，AD，BC边分别与l₂，l₃相交于点F，E，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为a，b，c（a＞0，b＞0，c＞0），且AB边于直线l₂的夹角为α，则下列结论错误的是（　　）

• A． a=c
• B． 当a=b=c时，四边形BEDF是菱形
• C． $\frac{AF}{AB}$=$\frac{a}{a+b}$
• D． 正方形ABCD面积为（a+b）²+c²

Answer 1

分析 过A点作AM⊥l₃分别交l₂、l₃于点P、M，过C点作CN⊥l₂分别交l₂、l₃于点N、Q，根据正方形的性质和平行线的性质，证△ABP≌△CDQ，根据全等三角形的性质到AP=CQ，即a=c，故A正确；根据相似三角形的判定和性质得到即$\frac{AF}{AB}=\frac{a}{a+b}$，故C正确；易证△APB≌△DAM≌△BCN≌△CQD，且两直角边长分别为a、a+b，
根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：过A点作AM⊥l₃分别交l₂、l₃于点P、M，过C点作CN⊥l₂分别交l₂、l₃于点N、Q，
∵四边形ABCD是正方形，l₁∥l₂∥l₃∥l₄，
∴AB=CD，∠ABF+∠NBC=90°，
∵CN⊥l₂，
∴∠BCN+∠NBC=90°，
∴∠BCN=∠ABP，
∵∠BCN=∠CDQ，
∴∠ABP=∠CDQ，
∵∠APB=∠CQD=90°，
在△ABP和△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠CDQ}\\{∠APB=∠CQD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CDQ（AAS）
∴AP=CQ，
即a=c，故A正确；
∵PF∥DM，
∴△APF∽△AMD，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{AP}{AM}$，
即$\frac{AF}{AB}=\frac{a}{a+b}$，故C正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵∠APB=∠DMA=∠BNC=∠CQD=90°，∠ABP=∠MAD=∠BCN=∠CDQ，
∴△APB≌△DAM≌△BCN≌△CQD，且两直角边长分别为a、a+b，
∴四边形NQMP是边长为b的正方形，
∴S=4×$\frac{1}{2}$a（a+b）+b²=2a²+2ab+b²=（a+b）²+a²，
∵a=c，
∴S=（a+b）²+c²，故D正确，
故选B．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．