Question

设直角三角形三边为3x+3y，4x，4y，其中x，y为正数，则周长为斜边的________倍．

Answer 1

或
分析：因为直角三角形的斜边不确定，故分三种情况考虑：3x+3y为斜边；4x为斜边；4y为斜边，每一种情况都根据勾股定理列出关于x的方程（y看做已知数），求出方程的解表示出x，代入三角形的三边中，判断能否构成三角形，进而用含有y的式子表示出周长和斜边，两者相除即可得到周长为斜边的倍数．
解答：三角形的周长为（3x+3y）+4x+4y=7（x+y），
当3x+3y=3（x+y）为斜边时，周长为斜边的=；
当4x为斜边时，根据勾股定理得：（4x）²=（3x+3y）²+（4y）²，
即7x²-18xy-25y²=0，
因式分解得：（x+y）（7x-25y）=0，
即：x+y=0或7x-25y=0，
解得：x=-y（舍去），x=y，
此时三角形三边分别为：3x+3y=y+3y=y，4x=y，4y，满足题意，
所以周长为7（x+y）=32y，斜边长4x=y，
则周长为斜边的=倍；
当4y为斜边时，根据：（4y）²=（3x+3y）²+（4x）²，
25x²+18xy-7y²=0，
因式分解得：（x+y）（7y-25x）=0，
即：x+y=0或7y-25x=0，
解得：x=-y（舍去），x=y，
此时三角形的三边长分别为：3x+3y=y，4x=y，4y，满足题意，
所以周长为7（x+y）=y，斜边为4y，
则周长为斜边的=倍，
综上，此三角形周长为斜边的或倍．
故答案为：或．
点评：此题考查了勾股定理，三角形的三边关系，以及一元二次方程的解法，本题的斜边不确定，故三边可能作为斜边，应利用分类讨论的思想解决问题，分情况讨论时，必须认真审题，全面考虑，做到不重不漏，分类需按同一标准进行．另外在根据勾股定理列出方程后，应把y看做已知数，x未知数利用分解因式的方法来求解方程，用y表示出x，进而表示出周长与斜边来求解．