Question

如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若∠C＝90°，如图①，根据勾股定理，则a²＋b²＝c²，若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想a²＋b²与c²的关系，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

[探究过程]若△ABC为锐角三角形，则有a2＋b2＞c2；若△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则有a2＋b2＜c2．当△ABC是锐角三角形时，理由如下：过A点作AD⊥CB于D，如图①，设CD＝x，则有DB＝a－x，根据勾股定理，得b2－x2＝c2－(a－x)2，即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2，所以a2＋b2＝c2＋2ax，因为a＞0，x＞0，所以a2＋b2＞c2；当△ABC为钝角三角形时，理由如下：过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D，如图②所示，设CD＝x，则BD2＝a2－x2，根据勾股定理，得(b＋x)2＋a2－x2＝c2，即b2＋2bx＋x2＋a2－x2＝c2，所以a2＋b2＋2bx＝c2，因为b＞0，x＞0，所以2bx＞0，所以a2＋b2＜c2． 　　[探究评析]通过观察，猜想得出结论，用勾股定理的知识去验证结论的正确性．