Question

如图，在⊙0中，点D、M、N分别为弧BC、弧AB、弧AC的中点，OH=DH，下列结论：①∠A=60°；
②MD⊥BN；③MN=BC；其中正确的为

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②
3. C.
   ①③
4. D.
   ②③

Answer 1

A
分析：连接OB，OC，由D为弧BC的中点，利用垂径定理得到H为BC的中点，在直角三角形BOH中，由OH为OB的一半，得到∠OBC的度数为30°，由OB=OC，利用等边对等角得到∠OCB也为30°，进而求出∠BOC的度数，利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出∠A的度数，即可做出判断；∠M对弧DN，及弧DC+弧CN，∠N对弧BM，而弧DC+弧CN+弧BM为圆周的一半，可得出两角之和为直角，进而确定出MD⊥BN；过O作OG垂直于MN，利用垂径定理得到G为MN的中点，由∠BOC的度数求出∠MOB+∠MON+∠NOC的度数，再由弧BM=弧AM，弧AN=弧CN，得到∠MON为三角之和的一半，求出∠MON为120°，可得出∠OMG=∠OBH=30°，再由一对直角相等及半径相等，利用AAS得到三角形OMG与三角形OBH全等，利用全等三角形的对应边相等得到MG=BH，即可得到MN=BC．
解答：解：连接OB，OC，
∵D为弧BC的中点，OD为半径，
∴OD⊥BC，H为BC的中点，
∵在Rt△OBH中，OH=HD=OD=OB，
∴∠OBC=30°，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∵∠BOC与∠A都对，
∴∠A=∠BOC=60°，故选项①正确；
∵D、M、N分别为弧BC、弧AB、弧AC的中点，
∴弧BD=弧CD，弧AM=弧BM，弧AN=弧CN，
∴弧CD+弧CN+弧BM=圆O的周长的一半，
∴∠M+∠N=90°，
∴MD⊥BN，选项②正确；
过O作OG⊥MN，连接OM，ON，
∵∠BOC=120°，
∴∠MOB+∠MON+∠NOC=240°，
∴∠MOB+∠NOC=120°，即∠MON=120°，
∵OM=ON，
∴∠OMG=30°，
∴∠OBH=∠OMG，
∵在△OBH和△OMG中，
，
∴△OBH≌△OMG（AAS），
∴MG=BH，
则MN=BC，选项③正确，
故选A
点评：此题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质，熟练掌握定理是解本题的关键．