Question

如图，已知抛物线经过点B（-2，3），原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C（2，0）．
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知：A（4，0）；
设抛物线的解析式为y=ax（x-4），已知抛物线过B（-2，3）；则有：
3=ax（-2）×（-2-4），
a=
∴抛物线的解析式为：y=x²-x；

（2）过点B作BM⊥MC，
∵B点坐标为：（-2，3），C点坐标为：（2，0），
∴MC=4，BM=3，
BC==5，
∴|CE|=5，
∴E₁（2，5），E₂（2，-5）；

（3）存在．
①当E₁（2，5）时，G₁（0，4），设点B关于直线x=2的对称点为D，
其坐标为（6，3）
直线DG₁的解析式为：y=-x+4，
∴P₁（2，）
②当E₂（2，-5）时，G₂（0，-1），直线DG₂的解析式为：y=x-1
∴P₂（2，）
综合①、②存在这样的点P，使得△PBG的周长最小，且点P的坐标为（2，）
或（2，）．
分析：（1）根据抛物线的对称轴可得出A点坐标，然后根据O、A、B三点坐标，用待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）可根据B、C的坐标，求出BC的长，然后根据CB=CE，将C点坐标向上或向下平移BC个单位即可得出E点坐标．
（3）本题的关键是确定P点的位置，可取B关于抛物线对称轴的对称点D，连接DG，直线DG与抛物线对称轴的交点即为所求P点的位置．可先求出直线DG的解析式，然后联立抛物线对称轴方程即可求出P点坐标．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定、轴对称图形的性质等知识，（3）中能正确找出P点位置是解题的关键．