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△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,把一个三角板的直角顶点放在点D处,将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .

(1)如图1,观察旋转过程,猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论;

(2)如图2,若连接EF,试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系,直接写出你的结论(不需证明);

(3)如图3,若将“AB=AC,点D是BC的中点”改为:“∠B=30°,AD⊥BC于点D”,其余条件不变,探索(1)中结论是否成立?若不成立,请探索关于AF、BE的比值.

 

 

(1)证明略

(2)

(3)

解析:解:(1)结论:AF=BE.  ………………………………….1分

证明:连接AD,

∵ AB=AC,∠BAC=90°,点D是BC的中点

∴ AD=BD=DC=BC ,∠ADB=∠ADC=90°,

∴ ∠B=∠C=∠1=∠2=45°.

∴ ∠3+∠5==90°.

∵ ∠3+∠4==90°,

∴ ∠5=∠4

∵ BD=AD,

∴ △BDE≌△ADF.

∴ BE=AF.  ………………………………………………………………………3分

(2)…………………………………………………………4分

(3)(1)中的结论BE=AF不成立.  ……………………………………… 5分

∵ ∠B=30°,AD⊥BC于点D,∠BAC=90°,

∴ ∠3+∠5==90°,  ∠B+∠1==90°.

∵ ∠3+∠4==90°,∠1+∠2==90°    

∴ ∠B=∠2 ,  ∠5=∠4.

∴ △BDE∽△ADF.

∴ .………………………………………………… 6分

 

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.

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3
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.

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(2013•达州)通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.
原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.

(1)思路梳理
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线.
根据
SAS
SAS
,易证△AFG≌
△AEF
△AEF
,得EF=BE+DF.
(2)类比引申
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系
∠B+∠D=180°
∠B+∠D=180°
时,仍有EF=BE+DF.
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程.

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