Question

如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，点O在AB上，以O 为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A。

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD∶AO=8∶5，BC=2，求BD的长。

Answer 1

解：（1）连接OD、DE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ADE=90°=∠ACB，
∴DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD=∠A，
∵AO=DO，
∴∠A=∠ADO=∠EDB，
则∠ODB=∠ADE=90°，
∵D在⊙O上，
∴BD为⊙O切线；
（2）连接DE，设AD为8x，
∴AO=5x=OE，
在Rt△ADE中，DE=6x，
∵ DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，

∴AC=，
∵△DCB∽△BCA，
则，
∴·DC，
∴DC=，
在Rt△DCB中，BD=。