证明：（1）过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，
∵M是正方形ABCD的对称中心，
∴M是正方形ABCD对角线的交点，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG
在正方形ABCD中，∠A=90°，
∵∠MHA=∠MGA=90°
∴∠HMG=90°，
在正方形QMNP，∠EMF=90°，
∴∠EMF=∠HMG．
∴∠FMH=∠EMG，
∵∠MHF=∠MGE．
∴△MHF≌△MGE，
∴MF=ME．
（2）ME=MF．证明：过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，
∵M是菱形ABCD的对称中心，
∴M是菱形ABCD对角线的交点，∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
∵BC∥AD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠QMN=∠B，
∴∠QMN+∠BAD=180°
又∵∠MHA=∠MGA=90°，在四边形HMGA中，∠HMG+∠BAD=180°，
∴∠EMF=∠HMG．
∴∠FMH=∠EMG，
∵∠MHF=∠MGE，
∴△MHF≌△MGE，
∴ME=MF．
（3）MF=mME．
证明：过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，
在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∴∠EMF=∠B=90°，
又∵∠MGA=∠MGE=90°，在四边形GMHA中，
∴∠GMH=90°，
∴∠EMG+∠GMF=∠GMF+∠HMF，
∴∠HMF=∠GME，
∵∠MGE=∠MHF，
∴△MGE∽△MHF，
∴
=
=
，
又∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴M是矩形ABCD对角线的中点
∴MG∥BC，
∴MG=
BC．同理可得MH=
CD，
∵AB=mBC，
∴MF=mME．
（4）平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，∠M=∠B，AB=mBC，M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AD于F，AB交QM于E．则MF=mME．
分析：（1）过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，首先证明M是正方形ABCD对角线的交点，然后证明△MHF≌△MGE，利用全等三角形的性质得到ME=MF；
（2）ME=MF．过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，由M是菱形ABCD的对称中心和菱形的性质得到 AM平分∠BAD，然后利用已知条件证明△MHF≌△MGE，最后利用全等三角形的性质得到ME=MF；
（3）ME=mMF．过点M作ME⊥AB于E，MG⊥AD于G，利用矩形ABCD性质和已知条件证明∠HMF=∠GME，∠MGE=∠MHF，得出△MGE∽△MHF，然后利用相似三角形的性质即可求解；
（4）平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，∠M=∠B，AB=mBD，由于M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，AD交QM于E．则ME=mMF．证明方法和（1）（2）（3）方法一样．
点评：此题分别考查了正方形、菱形、矩形、平行四边形的性质、全等三角形和相似三角形的性质和判定，综合性比较强，要求学生对于这些知识点非常熟练，才能很好的解决问题．
快乐小博士巩固与提高系列答案
21、如图，在正方形网格上的一个△ABC．（其中点A、B、C均在网格上）
（2012•安庆一模）如图，等腰直角△ABC沿MN所在的直线以2cm/min的速度向右作匀速运动．如果MN=2AC=4cm，那么△ABC和正方形XYMN重叠部分的面积S（cm2）与匀速运动所用时间t（min）之间的函数的大致图象是（ ）
如图，以Rt△ABC的斜边和一直角边为边长向外作正方形，面积分别为169和25，则另一直角边的长度BC为（ ）