Question

已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B(－1，0)，P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)

(1)(2分)求点A、E的坐标；

(2)(2分)若y＝过点A、E，求抛物线的解析式．

(3)(5分)连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)连结AD，不难求得A(1，2) 　　OE＝，得E(0，) 　　(2)因为抛物线y＝过点A、E 　　由待定系数法得：c＝，b＝ 　　抛物线的解析式为y＝ 　　(3)大家记得这样一个常识吗？ 　　“牵牛从点A出发，到河边l喝水，再到点B处吃草，走哪条路径最短？”即确定l上的点P 　　方法是作点A关于l的对称点A'，连结A'B与l的交点P即为所求． 　　本题中的AC就是“河”，B、D分别为“出发点”和“草地”． 　　由引例并证明后，得先作点D关于AC的对称点， 　　连结B交AC于点P，则PB与PD的和取最小值， 　　即△PBD的周长L取最小值． 　　不难求得∠DC＝30o 　　DF＝，D＝2 　　求得点D'的坐标为(4，) 　　直线B的解析式为：x＋ 　　直线AC的解析式为： 　　求直线B与AC的交点可得点P的坐标(，)． 　　此时BD'＝＝＝2 　　所以△PBD的最小周长L为2＋2 　　把点P的坐标代入y＝成立，所以此时点P在抛物线上．