Question

如图，抛物线y=x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连接BC、AD．
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1：3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形OBHC为矩形，
∴CD∥AB，
又D（5，2），
∴C（0，2），OC=2．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x²-x+2；

（2）点E落在抛物线上．理由如下：
由y=0，得x²-x+2=0．
解得x₁=1，x₂=4．
∴A（4，0），B（1，0）．
∴OA=4，OB=1．
由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴点E的坐标为（3，-1）．
把x=3代入y=x²-x+2，得y=•3²-•3+2=-1，
∴点E在抛物线上；

（3）存在点P（a，0）．记S_梯形BCQP=S₁，S_梯形ADQP=S₂，易求S_梯形ABCD=8．
当PQ经过点F（3，0）时，易求S₁=5，S₂=3，
此时S₁：S₂不符合条件，故a≠3．
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴．
由y=2得x=3a-6，
∴Q（3a-6，2）
∴CQ=3a-6，BP=a-1，s₁=（3a-6+a-1）•2=4a-7．
下面分两种情形：
①当S₁：S₂=1：3时，S₁=S_梯形ABCD=×8=2；
∴4a-7=2，解得；
②当S₁：S₂=3：1时，S₁=S_梯形ABCD=×8=6；
∴4a-7=6，解得；
综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）
分析：（1）由于CD∥x轴，因此C，D两点的纵坐标相同，那么C点的坐标就是（0，2），n=2；已知抛物线过D点，可将D的坐标代入抛物线的解析式中即可求出m的值，也就确定了抛物线的解析式；
（2）由于旋转翻折只是图形的位置有变化，而大小不变，因此：△BCH≌△BEF，OC=BF，CH=EF．OC的长可以通过C点的坐标得出，求CH即OB的长，要先得出B点的坐标，可通过抛物线的解析式来求得．这样可得出E点的坐标，然后代入抛物线的解析式即可判断出E是否在抛物线上；
（3）本题可先表示出直线PQ分梯形ABCD两部分的各自的面积．首先要得出P，Q的坐标．
可先设出P点的坐标如：（a，0）．由于直线PQ过E点，因此可根据P，E的坐标用待定系数法表示出直线PQ的解析式，进而可求出Q点的坐标．这样就能表示出BP，AP，CQ，DQ的长，也就能表示出梯形BPQC和梯形APQD的面积．然后分类进行讨论
①梯形BPQC的面积：梯形APQD的面积=1：3，
②梯形APQD的面积：梯形BPQC的面积=1：3，
根据上述两种不同的比例关系式，可求出各自的a的取值，也就能求出不同的P点的坐标．综上所述可求出符合条件的P点的坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转翻折变换、矩形的性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．