Question

如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点． 如图，若整个△EFG从图的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）．

（1）当x为何值时，OP∥AC； （2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； （3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）

Answer 1

解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ∴， ∴FG==3cm ∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC ∴OP∥AC ∴x==×3=1.5（s） ∴当x为1.5s时，OP∥AC． （2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm ∵EG∥AH ∴△EFG∽△AFH ∴ ∴AH=（x+5），FH=（x+5） 过点O作OD⊥FP，垂足为D ∵点O为EF中点 ∴OD=EG=2cm ∵FP=3﹣x ∴S四边形OAHP=S△AFH﹣S△OFP =AHFH﹣ODFP =（x+5）（x+5）﹣×2×（3﹣x） =x2+x+3（0＜x＜3）． （3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24 则S四边形OAHP=×S△ABC ∴x2+x+3=××6×8 ∴6x2+85x﹣250=0 解得x1=，x2=﹣（舍去） ∵0＜x＜3 ∴当x=（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24．