Question

在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD如图放置，边AB在x轴上，点A坐标为（1，0），点C坐标为（3，m）（m＞0）．连接OC交AD与E，射线OD交BC延长线于F．
（1）求点E、F的坐标﹔
（2）当x的值改变时：
①证明﹕经过O、E、F三点的抛物线的最低点一定为原点﹔
②设经过O、E、F三点的抛物线与直线CD的交点为P，求PD的长﹔
③探究﹕△ECF能否成为等腰三角形？若能，请求出△ECF 的面积．

Answer 1

（1）解：∵点A坐标为（1，0），点C坐标为（3，m），
∴OA=1，OB=3，BC=AD=m，
∵AE∥BC，
∴△OAE∽△OBC，
∴=，即AE==，
∴点E坐标为（1，），
同理，得△OAD∽△OBF，
∴=，即BF==3m，
∴点F坐标为（1，3m）；

（2）证明：∵二次函数的图象经过坐标原点O，
∴设二次函数为y=ax²+bx，
又∵二次函数的图象经过E、F，
∴，
解得．
∴二次函数的解析式为y=x²，
∴抛物线的最低点一定为原点﹔
②解：∵m=x²，
解得x=±，
∴PD的长为-1，+1；
③答：能．
∵∠ECF为钝角，
∴仅当EC=FC时，△ECF为等腰三角形，
由EC²=FC²，得CD²+ED²=FC²，
即2²+（m-）²=（3m-m）²，
解得m=±，
∵m＞0，
∴m=，
∴△ECF的面积=FC•CD=×2m×2=．
分析：（1）根据相似三角形的判定和性质即可求出点E、F的坐标﹔
（2）①二次函数的图象经过坐标原点O，可设二次函数为y=ax²+bx，根据待定系数法求出二次函数的解析式，即可证明经过O、E、F三点的抛物线的最低点一定为原点﹔
②根据纵坐标相等可得方程，求得x的值，从而得到PD的长﹔
③根据等腰三角形的性质可得关于m的方程，求得m的值，再根据三角形的面积公式即可求解．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：平行线的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形的面积，方程思想的运用，综合性较强，有一定的难度．