如图(1).⊙O中AB是直径.C是⊙O上一点.∠ABC＝45°.等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角.点D在线段AC上． (1)证明:B.C.E三点共线, (2)若M是线段BE的中点.N是线段AD的中点.证明:MN＝OM, (3)将△DCE绕点C逆时针旋转α后.记为△D1CE1(图2).若M1是线段BE1的中点.N1是线段AD1的中点.M1N1＝OM1是否成立?若是.请证明,若不是.说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图(1)，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．

(1)证明：B、C、E三点共线；

(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝OM；

(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D₁CE₁(图2)，若M₁是线段BE₁的中点，N₁是线段AD₁的中点，M₁N₁＝OM₁是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

答案：
解析：

　　分析：(1)根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA＝90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；

　　(2)连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD＝AE，∠EBD＝∠CAE，则∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON＝BD，OM＝AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON＝OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；

　　(3)证明的方法和(2)一样．

　　解答：(1)证明：∵AB是直径，

　　∴∠BCA＝90°，

　　而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，

　　∴∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，

　　∴B、C、E三点共线；

　　(2)连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，

　　∵CB＝CA，CD＝CE，

　　∴Rt△BCD≌Rt△ACE，

　　∴BD＝AE，∠EBD＝∠CAE，

　　∴∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°，即BD⊥AE，

　　又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，

　　∴ON＝BD，OM＝AE，ON∥BD，AE∥OM；

　　∴ON＝OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，

　　∴MN＝OM；

　　(3)成立．理由如下：

　　和(2)一样，易证得Rt△BCD₁≌Rt△ACE₁，同里可证BD₁⊥AE₁，△ON₁M₁为等腰直角三角形，

　　从而有M₁N₁＝OM₁．

　　点评：本题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质．

提示：

圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理；旋转的性质．

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