Question

已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax²+2bx+c=0必有实数根．

Answer 1

证明：由已知得2b=pc+ra，
所以△=（2b）²-4ac=（pc+ra）²-4ac
=p²c²+2pcra+r²a²-4ac
=p²c²-2pcra+r²a²+4pcra-4ac
=（pc-ra）²+4ac（pr-1）．
由已知pr-1＞0，又（pc-ra）²≥0，
所以当ac≥0时，△≥0；
当ac＜0时，也有△=（2b）²-4ac＞0．
综上，总有△≥0，
故原方程必有实数根．
分析：先计算出△，由pc-2b+ra=0消去△中的b，然后把△变形为（pc-ra）²+4ac（pr-1），无论ac为何值（a≠0），必有△≥0．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了代数式的变形能力．