Question

(1)如图(1)，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果(不必写计算过程)；

(2)将图(1)中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图(2)，求HD∶GC∶EB；

(3)把图(2)中的正方形都换成矩形，如图(3)，且已知DA∶AB＝HA∶AE＝m∶n，此时HD∶GC∶EB的值与(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果(不必写计算过程)．

Answer 1

答案：
解析：

分析．(1)首先连接AG，由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证得∠GAE＝∠CAB＝45°，AE＝AH，AB＝AD，即A，G，C共线，继而可得HD＝BE，GC＝BE，即可求得HD∶GC∶EB的值； 　　(2)连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值； 　　(3)由矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，由DA∶AB＝HA∶AE＝m∶n，易证得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD∶GC∶EB的值． 　　解答．解：(1)连接AG， 　　∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上， 　　∴∠GAE＝∠CAB＝45°，AE＝AH，AB＝AD， 　　∴A，G，C共线，AB－AE＝AD－AH， 　　∴HD＝BE， 　　∵AG＝＝AE，AC＝＝AB， 　　∴GC＝AC－AG＝AB－AE＝(AB－AE)＝BE， 　　∴HD∶GC∶EB＝1∶∶1(3分) 　　(2)连接AG、AC， 　　∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形， 　　∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶，∠DAC＝∠HAG＝45°， 　　∴∠DAH＝∠CAG，(4分) 　　∴△DAH∽△CAG， 　　∴HD∶GC＝AD∶AC＝1∶，(5分) 　　∵∠DAB＝∠HAE＝90°， 　　∴∠DAH＝∠BAE， 　　在△DAH和△BAE中， 　　， 　　∴△DAH≌△BAE(SAS)， 　　∴HD＝EB， 　　∴HD∶GC∶EB＝1∶∶1；(6分) 　　(3)有变化， 　　连接AG、AC， 　　∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，DA∶AB＝HA∶AE＝m∶n， 　　∴∠ADC＝∠AHG＝90°， 　　∴△ADC∽△AHG， 　　∴AD∶AC＝AH∶AG＝m∶，∠DAC＝∠HAG， 　　∴∠DAH＝∠CAG，(4分) 　　∴△DAH∽△CAG， 　　∴HD∶GC＝AD∶AC＝m∶，(5分) 　　∵∠DAB＝∠HAE＝90°， 　　∴∠DAH＝∠BAE， 　　∵DA∶AB＝HA∶AE＝m∶n， 　　∴△ADH∽△ABE， 　　∴DH∶BE＝AD∶AB＝m∶n， 　　∴HD∶GC∶EB＝m∶∶n．(8分) 　　点评．此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

提示：

考点．相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．