Question

如图，在△ABC中，∠A与∠B互余，CD⊥AB，垂足为点D，DE∥BC，交AC于点E，求证：AD：AC=CE：BD．

Answer 1

证明：∵∠A与∠B互余，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴．
∵DE∥BC，
∴△ECD∽△BDC，
∴，
∴AD：AC=CE：BD．
分析：由结论分析可得，只要证明△ADC∽△DEC即可，根据题意可得：∠ACB=∠ADC=90°，又因为平行，可求得∠CED=90°，又因为∠ECD=∠DCA公共角相等，即可证得．也可采用间接法，如解答过程．
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．