Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角（0°<<90°）得△A₁BC_l，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点。

（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA₁与FC有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，当=30°时，试判断四边形BC_lDA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长。

Answer 1

解：（1）猜想：EA₁=FC
证法一：∵AB=BC
∴∠A=∠C
由旋转可知，AB=BC₁，∠A=∠C₁，∠ABE=∠C1BF
∴△AABE≌△ClBF（ASA）
∴BE=BF
又∵BA₁=BC
∴BA₁-BE=BC-BF
即EA₁=FC；
证法二：∵AB=BC
∴∠A=∠C
由旋转可知，∠A₁=∠C，A₁B=CB，而∠EBC=∠FBA₁
∴△A₁BF≌△CBE（ASA）
∴BE=BF
∴BA_l-BE=BC-BF
即EA₁=FC。
（2）四边形BC₁DA是菱形
证明：∵∠A₁=∠ABA₁=30°
∴A₁C₁∥AB
同理AC//BC₁
∴四边形BC₁DA是平行四边形
又∴AB=BC_l
∴四边形BC₁DA是菱形；
（3）解法一：如图，过点E作EG⊥AB于点G．则AG=BG=1

在RtAEG中，AE=
由（2）知四边形BC_lDA是菱形
∴AD=AB=2
∴ED=AD-AE=2-；
法二：∵∠ABC=120°，∠ABE=30°
∴∠EBC=90°
在RtAEBC中，BE=BC·tanC=2×tan30°=
∴EA₁=BA₁-BE=
又易证A₁C₁∥AB
∴∠A₁DE=∠A
∴∠A₁DE=∠A₁
∴ED=EA_l=2-。