Question

2．如图，在平面直角坐标系中，⊙O交x轴于A、B两点，点P为圆上一动点PQ⊥x轴于点Q，点P运动到某一时刻：PQ=$\sqrt{3}$，AQ=3．
（1）求⊙O的半径；
（2）当点C（m，n）在第三象限的圆弧上运动，CD⊥x轴于D，在x轴上取一点I（点I在点D的左侧），使ID=CD，过点I作x 轴的垂线，并在垂线上取一点T（点T在x轴上方），将TC绕点T逆时针旋转90°得到线段TM，MN⊥x轴于点N，设IT=p，MN=q，判断关于x的方程：nx²+qx-p=0根的情况；
（3）在（2）的条件下，作直线MI，判断当点P运动过程中，直线MI与⊙O的位置关系，并判断m的取值情况．

Answer 1

分析 （1）根据sin∠PAQ=$\frac{PQ}{PA}$=$\frac{PB}{AB}$即可解决问题．
（2）如图2中，作TG⊥MN于G，CK⊥TI于K，先证明△KTC≌△GTM，再证明四边形TING是矩形，得q=p-n，再利用判别式即可解决问题．
（3）如图2中，当OC∥MI时，作OH⊥MI，求出相切时m的值即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接PA、PB．
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∵∠PQA=90°，PQ=$\sqrt{3}$，AQ=3，
∴PA=$\sqrt{P{Q}^{2}+A{Q}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，sin∠PAQ=$\frac{PQ}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠PAB=30°，
∴PB=PA•tan30°=2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，
∴AB=2PB=4，
∴⊙O 的半径为2．
（2）如图2中，作TG⊥MN于G，CK⊥TI于K．
∵∠CKI=∠KID=∠CDI=90°，
∴四边形CDIK是矩形，
∵ID=CD，
∴四边形CDIK是正方形，
∴CD=KC，
∵∠KTG=∠CTM=90°，
∴∠KTC=∠GTM，
在△KTC和△GTM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠TKC=∠TGM}\\{∠KTC=∠GTM}\\{TC=TM}\end{array}\right.$，
∴△KTC≌△GTM，
∴KC=MG=CD=-n，
∵∠TIN=∠TGN=∠GNI=90°，
∴四边形TING是矩形，
∴TI=GN=p，
∴MN=MG+GN，
∴q=P+（-n）=P-n，
∵关于x的方程：nx²+qx-p=0，△=q²+4np=（p-n）²+4np=（p+n）²＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（3）如图2中，当OC∥MI时，作OH⊥MI，
∵四边形HICO是正方形，
∴∠KIC=45°，
∵△TCM是等腰直角三角形，
∴∠TMC=45°，
∴∠KIC=∠TMC，
∴T、I、C、M四点共圆，
∴∠CIM=∠CTM=90°，
∵OC∥IM，
∴∠ICO=90°，
∵∠HIC=∠ICO=∠IHO=90°，
∴四边形IHOC是矩形，
∵∠CIO=∠CIO=45°，
∴CI=CO，
∴四边形OCIH是正方形，
∴OH=OC，
∴直线MI是⊙O的切线，
∵CO=CI=2，
∴IC=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴点C坐标（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）时直线MI与⊙O相切，
∴当m=-$\sqrt{2}$时，直线IM与⊙O相切，当-2＜m＜-$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$＜m＜0时，直线MI与⊙O相切．

点评 本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．