Question

如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(0，－2)，(0，8)，以AB为一边作正方形ABCD，再以CD为直径的半圆P．设x轴交半圆P于点E，交边CD于点F．

(1)求线段EF的长；

(2)连接BE，试判断直线BE与⊙P的位置关系，并说明你的理由；

(3)直线BE上是否存在着点Q，使得以Q为圆心、r为半径的圆，既与y轴相切又与⊙P外切？若存在，试求r的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)连接PE， 　　(2)(解法一) 　　∵ 　　∴Rt△BOE∽Rt△EFP 　　∴∠OBE＝∠FEP 　　 　　∴相切　　(7分) 　　(解法二)连接PB， 　　在Rt△PCB中，PB2＝PC2＋BC2＝52＋102＝125 　　在Rt△BOE中，BE2＝BO2＋OE2＝82＋62＝100 　　在△PEB中，BE2＋PE2＝100＋25＝PB2 　　∴∠PEB＝90°　　(6分) 　　(3)连接PQ，∵⊙Q与⊙P外切　∴PQ＝r＋5　　(8分) 　　过Q作QM⊥y轴于M，交CD于N 　　∵⊙Q与y轴相切 　　∴QM＝r　∴QN＝MN－QM＝10－r　　(9分) 　　∵MQ∥OE△BMQ∽△BOE 　　 　　∴NP＝NF－PF＝MO－PF＝BO－BM－PF＝5－　　(11分) 　　(另解：直线DE所对应的函数关系式为，设Q(r，h)，代入得，即，从而) 　　在Rt△QNP中，QN2＋NP2＝PQ2 　　 　　解得，