Question

14．定义：由线段AB和点C构成的△ABC中，当AB边上的高为6时，称点C为AB的“等高点”，称此时CA+CB为AB的“等高距离”．
（1）若A（-1，2），B（5，2），试写出AB的“等高点”的坐标（写出一点即可）；
（2）若A（0，3），B（-4，0）．
①在x轴上是否存在点C，点C为AB的“等高点”？若存在，求出此时AB的“等高距离”；若不存在，说明理由．
②试求在x轴下方，使得AB的“等高距离”取得最小值时点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据等高点的定义，即可解决问题；
（2）①存在．如图，设C是等高点，C（m，0），作CH⊥AB于H．由△ABO∽△CBH，推出$\frac{OA}{CH}$=$\frac{AB}{BC}$，可得$\frac{3}{6}$=$\frac{5}{4+m}$，解方程即可；
②易知过点C平行AB的直线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$，作点A关于直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$的对称点A′，连接BA′交直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$于C′，此时“等高距离”取得最小值，求出点C′坐标即可；

解答 解：（1）∵A（-1，2），B（5，2），
∴AB∥x轴，且AB与x轴的距离为2，
∵AB边上的高为6时，称点C为AB的“等高点”，
∴AB的“等高点”的纵坐标为2+6=8或2-6=-4，
∴AB的“等高点”的坐标可以是（1，8）；

（2）①存在．
理由：如图，设C是等高点，C（m，0），作CH⊥AB于H．
∵A（0，3），B（-4，0），
∴OA=3，OB=4，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠ABO=∠HBC，∠AOB=∠BHC=90°，
∴△ABO∽△CBH，
∴$\frac{OA}{CH}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{5}{4+m}$，
∴m=6，
∴C（6，0），
此时CA=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，BC=10，
∴此时等高距离为3$\sqrt{5}$+10．

②∵A（0，3），B（-4，0），
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，
过点C平行AB的直线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$，
作点A关于直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$的对称点A′，连接BA′交直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$于C′，此时“等高距离”取得最小值．
易知直线AA′的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+3}\\{y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18}{5}}\\{y=-\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线AA′与CC′的交点G（$\frac{18}{5}$，-$\frac{9}{5}$），
∴A′（$\frac{36}{5}$，-$\frac{33}{5}$），
∴直线BA′的解析式为y=-$\frac{33}{56}$x-$\frac{33}{14}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{33}{56}x-\frac{33}{14}}\\{y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=-\frac{33}{10}}\end{array}\right.$．
∴C′（$\frac{8}{5}$，-$\frac{33}{10}$）．

点评 本题考查三角形综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会构建一次函数利用方程组确定交点坐标，属于注意压轴题．