Question

如图，Rt△ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，
（1）求证：∠A=∠B．
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

解：（1）证明：连接OD、OE，
∵AC、BC分别为圆O的切线，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵O为AB的中点，
∴AO=BO，
在Rt△AOD和Rt△BOE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△BOE（HL），
∴∠A=∠B；

（2）∵Rt△AOD≌Rt△BOE，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴△ADO与△BEO都为等腰直角三角形，
∴∠DOA=∠EOB=45°，
∵AO=BO=2，
根据勾股定理得：OD=，
则S_阴=2（S_△AOD-S_扇形）=2×[×（）²-]=2-．
分析：（1）由AC与BC都为圆O的切线，利用切线的性质得到三角形AOD与三角形BOE为直角三角形，由OD=OE，且AO=BO，利用HL得到两直角三角形全等，利用全等三角形的对应角相等即可得证；
（2）由（1）∠A=∠B，得到三角形ABC为等腰直角三角形，进而确定出三角形AOD与三角形BOE都为等腰直角三角形，由斜边OA的长求出OD的长，且得出扇形圆心角的度数，阴影部分的面积为2（三角形AOD面积-扇形面积），求出即可．
点评：此题考查了切线的性质，直角三角形全等判定方法-HL，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及扇形面积求法，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．