Question

如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q。
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC， ∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠PMC=∠QMB ∴BQ=QM，PM=PC ∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a； （2）∵PM∥AB， ∴△PCM∽△ACB， ∵QM∥AC， ∴△BMQ∽△BCA； （3）当点M在BC的中点时，四边形APMQ是菱形， ∵AB∥MP，点M是BC的中点， ∴， ∴P是AC的中点， ∴PM是三角形ABC的中位线，同理：QM是三角形ABC的中位线 ∵AB=AC， ∴QM=PM=AB=AC， 又由（1）知四边形APMQ是平行四边形， ∴平行四边形APMQ是菱形。