Question

如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连接CE交AB于点F．
（1）求证：DE=DF；
（2）连AE，若OF=1，BF=3，求DE长．

Answer 1

解：（1）连接OE，
∵DE为圆的切线，
∴OE⊥ED，
∴∠OEC+∠CED=90°，
∵OC⊥AD，
∴∠COD=90°，
∴∠C+∠CFO=90°，
∵∠CFO=∠DFE，
∴∠C+∠DFE=90°，
∵OC=OE，
∴∠C=∠OEC，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF；

（2）在Rt△OED中，OE=OB=OF+FB=1+3=4，
根据勾股定理得：OD²=OE²+ED²，即（1+DF）²=（1+DE）²=4²+DE²，
解得：DE=7.5．
分析：（1）连接OE，由DE为圆的切线，得到OE垂直于ED，得到一对角互余，再由CO垂直于AD，得到一对角互余，再由等边对等角及对顶角相等得到∠DFE=∠DEF，利用等角对等边即可得证；
（2）由OF+FB求出OB的长，即为OE的长，根据DE=DF，在直角三角形OED中，利用勾股定理即可求出DE的长．
点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．