Question

已知：如图，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，均以2厘米/秒的速度分别沿AD向点D和沿CB向点B运动．设运动时间为t（其中t≤6.25）秒
（1）当EF与AC垂直时，求出t的值；
（2）在（1）的条件下，若P为线段AC上一点（点P不与点A、C重合），连结EP，当2AE²=AC•AP时，请判断EP与AD的位置关系，并说明理由；求出此时AP的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的性质及勾股定理就可以求出AC的值，根据三角函数值就可以求出sin∠CAD和cos∠CAD的值，由条件可以得出△AOE≌△COF，就可以求出AO=CO，就可以求出AE的值而求出t的值；
（2）过E作EP⊥AD交AC于P，然后根据矩形的性质就可以证明△AOE∽△AEP，列出关系式就可以得出结论．

解答：解：（1）∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB．
在△AOE和△COF中

∠CAD=∠ACB ∠AOE=∠COF AE=CF

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AO=CO，EO=FO．
在Rt△ADC中，由勾股定理，得
AC=20．
∴AO=

1

2

AC=10．
∵AB=12cm，AD=16cm，
∴CD=12．
∴cos∠CAD=

4

5

，
∴

AO

AE

=

4

5

，
∴

10

AE

=

4

5

，
∴AE=

25

2

，
t=

25

2

÷2=

25

4

秒．
答：

25

4

时，EF与AC垂直；


（2）过E作EP⊥AD交AC于P．
∴∠AEP=90°，
∴∠AEP=∠AOE．
∵∠OAE=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴

AE

AP

=

AO

AE

，
∴AE²=A0•AP，
∴AE²=

1

2

AC•AP，
∴2AE²=AC•AP．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定就性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等和相似是关键．