Question

如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于E、F，AE=．
（1）求弧EF的长．
（2）若AD=，直线MN分别交DA、DC于点M、N，∠DMN=60°，将直线MN沿射线DA方向平移，当MN和⊙O第一次相切时，求点D到直线MN的距离．
（3）若点D到直线MN的距离为4时，请直接写出⊙O和直线MN的位置关系．

Answer 1

解：（1）连接OE、OF． ∵AD、AB与⊙O相切于E、F， ∴OE⊥AD，OF⊥AB， ∵矩形ABCD中，∠A=90°， ∴四边形OEAF是矩形． ∵OE=OF， ∴四边形OEAF是正方形， ∴OE=OF=AE=，∠O=90°， ∴弧EF的长为：=； （2）当MN和⊙O第一次相切时， 设MN交AD于P，交BC于Q， 连接OP，OE，过D作DG⊥MN于G． ∵MN∥PQ， ∴∠DMN=∠DPQ=60°， ∴∠APQ=120°． ∵PA和PQ与⊙O相切， ∴∠EPO=∠OPQ=60°． 在△OEP中， ∠OEP=90°，∠EOP=30°，OE=， ∴EP=1，OP=2， ∴DP=AD﹣AE﹣EP=+5﹣﹣1=4． 在△DPG中， ∵∠DGP=90°，∠PDG=30°， ∴DG=PDcos30°=2， ∴点D到直线MN的距离d为2； （3）设点D到直线MN的距离为d． 由（2）知，当d=2时，直线MN与⊙O第一次相切， ∵⊙O的半径为， ∴当d=4时，直线MN与⊙O第二次相切， 又∵2<4<4， ∴当d=4时，MN直线与⊙O相交．