Question

如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等．设BC=a，AC=b，AB=c．
（1）求AE和BD的长；
（2）若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，求证：S=AE•BD．

Answer 1

分析：（1）根据，△ABD与△ACD的周长相等，我们可得出：AB+BD=AC+CD，等式的左右边正好是三角形ABC周长的一半，即

a+b+c

2

，有AB，AC的值，那么就能求出BD的长了，同理可求出AE的长；
（2）根据（1）中求出的AE，BD的值，先求出AE•BD是多少，在化简过程中，可以利用一些已知条件比如勾股定理等，来使化简的结果和三角形ABC的面积得出的结果相同．

解答：（1）解：∵△ABD与△ACD的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c，
∴AB+BD=AC+CD=

a+b+c

2

．
∴BD=

a+b+c

2

-c=

a+b-c

2

，
同理AE=

a-b+c

2

；

（2）证明：∵∠BAC=90°，
∴c²+b²=a²，S=

1

2

bc，
由（1）知AE•BD=

a-b+c

2

×

a+b-c

2

=

a2-(b-c)2

4

=

1

4

（a²-b²-c²+2bc）=

1

2

bc，
即S=AE•BD

点评：本题中通过周长相等得出线段的长是解题的关键．要注意在（2）中化简AE•BD的式子的过程中要多使用已知或间接知道的条件．