Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A（1，0）、

B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为（）．

①当等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？

②设，求s与t之间的函数关系式．

Answer 1

解：（1）根据题意，得

    解得                               

∴                   

            =

∴顶点C的坐标为（3，2）．

（2）①∵CD=DB=AD=2，CD⊥AB，

       ∴∠DCB=∠CBD=45°．

）若CQ=CP，则∠PCD=∠PCQ=22.5°．

∴当=22.5°时，△CPQ是等腰三角形．

）若CQ=PQ，则∠CPQ=∠PCQ=45°，

此时点Q与D重合，点P与A重合．

∴当=45°时，

△CPQ是等腰三角形．

     ）若PC=PQ， ∠PCQ=∠PQC=45°，此时点Q与B重合，点P与D重合．

∴=0°，不合题意．                         

∴当=22.5°或45°时，△CPQ是等腰三角形．

②连接AC，∵AD=CD=2，CD⊥AB，

∴∠ACD=∠CAD=， AC= BC=

）当时，

∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45°．

∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45°．

∴∠ACQ=∠BPC．                   

又∵∠CAQ=∠PBC=45°，

∴△ACQ∽△BPC．                  

∴．

∴AQ?BP=AC?BC=×=8

）当时，同理可得AQ?BP=AC?BC=8

∴．