Question

如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）．
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer 1

解：（2）图2中结论PR+PQ=仍成立．  证明：连接BP，过C点作CK?BD于点K．   ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD=90°， 又∵CD=AB=3，BC=4， ∴BD===5． ∵S△BCD=BC×CD=BD×CK， ∴3×4=5CK， ∴CK=． ∵S△BCE=BE×CK，S△BEP=PR×BE， S△BCP=PQ×BC，且S△BCE=S△BEP+S△BCP， ∴BE×CK=PR×BE+PQ×BC， 又∵BE=BC， ∴CK=PR+PQ， ∴CK=PR+PQ， 又∵CK=， ∴PR+PQ=；   （3）连接BP，S△BPE﹣S△BCP=S△BEC， S△BEC 是固定值， BE=BC 为两个底， PR，PQ 分别为高， 图3中的结论是PR﹣PQ=．