Question

如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

(1)求k的值；

(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点(P点在第一象限)，若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵点A横坐标为4，∴当＝4时，＝2． 　　∴点A的坐标为(4，2)． 　　∵点A是直线与双曲线(k＞0)的交点， 　　∴k＝4×2＝8． 　　(2)解法一：如图1， 　　∵点C在双曲线上，当＝8时，＝1 　　∴点C的坐标为(1，8)． 　　过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON． 　　S矩形ONDM＝32，S△ONC＝4，S△CDA＝9，S△OAM＝4． 　　S△AOC＝S矩形ONDM－S△ONC－S△CDA－S△OAM＝32－4－9－4＝15． 　　解法二：如图2， 　　过点C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F， 　　∵点C在双曲线上，当＝8时，＝1． 　　∴点C的坐标为(1，8)． 　　∵点C、A都在双曲线上， 　　∴S△COE＝S△AOF＝4． 　　∴S△COE＋S梯形CEFA＝S△COA＋S△AOF． 　　∴S△COA＝S梯形CEFA． 　　∵S梯形CEFA＝×(2＋8)×3＝15， 　　∴S△COA＝15． 　　(3)∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， 　　∴OP＝OQ，OA＝OB． 　　∴四边形APBQ是平行四边形． 　　∴S△POA＝S平行四边形APBQ＝×24＝6． 　　设点P的横坐标为(＞0且)， 　　得P(，)． 　　过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F， 　　∵点P、A在双曲线上，∴S△POE＝S△AOF＝4． 　　若0＜＜4，如图3， 　　∵S△POE＋S梯形PEFA＝S△POA＋S△AOF， 　　∴S梯形PEFA＝S△POA＝6． 　　∴． 　　解得＝2，＝－8(舍去)． 　　∴P(2，4)． 　　若＞4，如图4， 　　∵S△AOF＋S梯形AFEP＝S△AOP＋S△POE， 　　∴S梯形PEFA＝S△POA＝6． 　　∴， 　　解得＝8，＝－2(舍去)． 　　∴P(8，1)． 　　∴点P的坐标是P(2，4)或P(8，1)．