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    抛物线y=a（x+6）2-3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE2=3DE．
    （1）求这个抛物线的解析式；
    （2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；
    （3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出所有符合条件的M的坐标；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）根据已知的抛物线解析式，可求得顶点D的坐标，即可求得DE、OE的长，根据AE2=3DE，可求出AE的值，进而可得到点A的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值，从而确定该抛物线的解析式．
    （2）设出点P的纵坐标，若以PC为斜边的直角三角形在x轴上只有一个直角顶点，那么以PC为直径的圆与x轴相切，可根据P、C的坐标表示出PC中点Q的坐标和PC的长，令Q的纵坐标等于PC的一半，即可得到关于P点纵坐标的方程，从而求出点P的坐标．
    （3）此题比较复杂，需要分两种情况考虑：
    ①NE=2DE，此时N（-6，6），可设出点M的坐标，然后分别表示出直线MN、直线MD的斜率，若两条直线互相垂直，那么它们的斜率的积为-1，可据此得到关于M点横、纵坐标的关系式，联立抛物线的解析式即可得到点M的坐标；
    ②2NE=DE，方法同①．
    解答：解：（1）易知抛物线的顶点D（-6，-3），则DE=3，OE=6；
    ∵AE2=3DE=9，
    ∴AE=3，即A（-3，0）；
    将A点坐标代入抛物线的解析式中，
    得：a（-3+6）2-3=0，
    即a=，
    即抛物线的解析式为：y=（x+6）2-3=x2+4x+9．


    （2）设点P（-6，t），易知C（0，9）；
    则PC的中点Q（-3，）；
    易知：PC=；
    若以PC为斜边构造直角三角形，在x轴上的直角顶点只有一个时，以PC为直径的圆与x轴相切，即：
    ||=，
    解得t=1，
    故点P（-6，1），
    当点P与点E重合时，由抛物线的解析式可知，A（-3，0），B（-9，0）．
    所以P（-6，0），
    故点P的坐标为（-6，1）或（-6，0），


    （3）设点M（a，b）（a＜0，b＞0），分两种情况讨论：
    ①当NE=2DE时，NE=6，即N（-6，6），已知D（-6，-3），则有：
    直线MN的斜率：k1=，直线MD的斜率：k2=；
    由于MN⊥DM，则k1•k2==-1，
    整理得：a2+b2+12a-3b+18=0…（△），
    由抛物线的解析式得：a2+4a+9=b，
    整理得：a2+12a-3b+27=0…（□）；
    （△）-（□）得：b2=9，即b=3（负值舍去），
    将b=3代入（□）得：a=-6+3，a=-6-3，
    故点M（-6+3，3）或（-6-3，3）；
    ②当2NE=DE时，NE=，即N（-6，），已知D（-6，-3），
    则有：直线MN的斜率：k1=，直线DM的斜率：k2=；
    由题意得：k1•k2==-1，
    整理得：a2+b2+b+12a+=0，
    而a2+12a-3b+27=0；两式相减，
    得：2b2+9b+9=0，
    解得b=-2，b=-，（均不符合题意，舍去）；
    综上可知：存在符合条件的M点，且坐标为：M（-6+3，3）或（-6-3，3）．
    点评：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、直角三角形的判定和性质、圆周角定理、直线与圆的位置关系、互相垂直两直线的斜率关系等重要知识，综合性强，难度很大．
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    （2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点M的坐标；
    （3）求四边形ABCM的面积S．

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    		3.36
    ≈1.8，
    		3.64
    ≈1.9，
    		4.39
    ≈2.1）
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