Question

已知：如图，△ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，D为AB延长线上一点，BD=1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形。
（1）求证：BC=BP；
（2）求点C到BP的距离。

Answer 1

解：（1）如图，连接PC， ∵AC=1，BD=1， ∴AC=BD， ∵∠BAC=120°，AP平分∠BAC， ∴∠1=∠BAC=60°， ∵△PAD是等边三角形， ∴PA=PD，∠D=60°， ∴∠1=∠D， ∴△PAC≌△PDB， ∴PC=PB，∠2=∠3， ∴∠2+∠4=∠3+∠4，∠BPC=∠DPA=60°， ∴△PBC是等边三角形，BC=BP； （2）如图，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F， ∵AB=3，BD=1， ∴AD=4， ∴△PAD是等边三角形，PF⊥AB， ∴DF=AD=2，PF=PDsin60°=， ∴BF=DF﹣BD=1， ∴BP=， ∴CE=BCsin60°=BPsin60°=×=， 即点C至BP的距离等于。