Question

如图，已知抛物线y=x²-2x+1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置。

（1）求直线l的函数解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得S_△DQC=S_△DPB？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）配方，得y=（x-2）2-1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P（2，-1）， 取x=0代入y=x2-2x+1，得y=1， ∴点A的坐标是（0，1）， 由抛物线的对称性知，点A（0，1）与点B关于直线x=2对称， ∴点B的坐标是（4，1）， 设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），将B、P的坐标代入， 有，解得， ∴直线l的解析式为y=x-3； （2）连结AD交O′C于点E， ∵点D由点A沿O′C翻折后得到， ∴O′C垂直平分AD， 由（1）知，点C的坐标为（0，-3）， ∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴O′C=2， 据面积关系，有×O′C×AE=×O′A×CA， ∴AE=，AD=2AE=， 作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A， ∴， ∴，DF=， 又∵OA=1， ∴点D的纵坐标为1-， ∴点D的坐标为（，-）； （3）显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点， ∴点P是线段BC的中点， ∴S△DPC=S△DPB，故要使S△DQC=S△DPB，只需S△DQC=S△DPC， 过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC， 故m与抛物线的交点即符合条件的Q点， 容易求得过点C（0，-3）、D（）的直线的解析式为y=x-3， 据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为， 令x2-2x+1=， 解得x1=2，x2=，代入y=，得y1=-1，y2=， 因此，抛物线上存在两点Q1（2，-1）（即点P）和Q2（）， 使得S△DQC=S△DPB。