Question

如图，等边△ABC，G是△ABC的重心，直线AG把△ABC分成面积相等的两部分，但是不是过G点的任意一条直线都把△ABC分成面积相等的两部分？用实验或说理的方法，给予探索并得出结论．

 

Answer 1

【答案】

不是．（理由略）

【解析】本题考查的是等边三角形的性质

显然不是，可以过G作AB的平行线，分别交AC、BC于E、F，设直线AG与BC的交点为M，问题就变成了三角形CEF和四边形AEFB的面积关系；可过M作EF的平行线，交AC于N，通过构建相似三角形来得到AE、CE的比例关系，然后根据相似三角形△CEF和△CAB（因为EF∥AB）的相似比求出它们的面积比，从而得到△CEF和四边形AEFB的面积比是否为1：1．

不是．

理由：如图，过G作直线EF∥AB，交AC于E、BC于F，

设直线AG与BC的交点为M，过M作MN∥EF，交AC于N，

∵G是△ABC的内心，

∴BM=MC，AG=2GM，

∵GE∥MN，

，即，

∵BM=MC，即M是BC的中点，且MN∥EF∥AB，

∴MN是△ABC的中位线，即AN=NC，

，

设AE=2x，则AN=NC=3x，EN=x，

∴EC=NC+EN=4x，AC=AE+EC=6x．

∵EF∥AB，

∴△CMN∽△CBA，

，

故，

因此过G点的任意一条直线不是都能把△ABC分成面积相等的两部分．