Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标 轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；
（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，在抛物线上找一点Q，使△BDQ的面积与△BDP的面积相等，求点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）∵圆心O在坐标原点，圆O的半径为1，
∴A（-1，0）、B（0，-1）、C（1，0）、D（0，1），
∵抛物线与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C，
∴M（-1，-1）、N（1，1），
∵点D、M、N在抛物线上，
∴将D（0，1）、M（-1，-1）、N（1，1）的坐标代入y=ax²+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+1；

（2）∵y=-x²+x+1=-（x-）²+，
∴抛物线的对称轴为直线x=，
∴OE=，DE==，
连接BF，则∠BFD=90°，
∴△BFD∽△EOD，
∴=，
又∵DE=，OD=1，DB=2，
∴FD=
∴EF=FD-DE=-=；

（3）根据题意得到点P在抛物线上，理由为：
设过D、C点的直线为y=kx+b，
将点C（1，0）、D（0，1）的坐标代入y=kx+b，得k=-1，b=1，
∴直线DC为y=-x+1，
过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为y=-1，
将y=-1代入y=-x+1，得x=2，
∴P点的坐标为（2，-1），
当x=2时，y=-x²+x+1=-2²+2+1=-1，
则P点在抛物线y=-x²+x+1上；
可得S_△BDP=BP•BD=×2×2=2，
由S_△BDP=S_△BDQ，设Q横坐标为x，
∴S_△BDQ=BD•|x_Q|=2，即|x_Q|=2，
∴x_Q=2或-2，
当Q横坐标为2时，与P重合，舍去；当Q横坐标为-2时，代入抛物线解析式得：y=-x²+x+1=-4-2+1=-5，
则Q坐标为（-2，-5）．
分析：（1）根据图形，易得点A、B、C、D的坐标；进而可得抛物线上三点D、M、N的坐标，将其代入解析式，求可得解析式；
（2）由（1）的解析式，可得顶点坐标，即OE、DE的长，易得△BFD∽△EOD，再由EF=FD-DE的关系代入数值可得答案；
（3）首先根据CD的坐标求出CD的直线方程，在根据切线的性质，可求得P的坐标，进而可得P是否在抛物线上，然后求出三角形BDP的面积，即为三角形BDQ的面积，设Q的横坐标为x，表示出三角形BDQ的面积，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，将x的值代入抛物线解析式求出对应y的值，即可确定出Q的坐标．
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，坐标与图形性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，第三问判定P在抛物线上是解本题的关键．