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    已知：一次函数y=-
    1
    2
    x+2    的图象与x轴、y轴的交点分别为B、C，二次函数的关系式为y=ax2-3ax-4a（a＜0）．
    （1）说明：二次函数的图象过B点，并求出二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；
    （2）若二次函数图象的顶点，在一次函数图象的下方，求a的取值范围；
    （3）若二次函数的图象过点C，则在此二次函数的图象上是否存在点D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由．
    （1）令y=0，则-
    1
    2
    x+2=0，解得x=4，
    令x=0，则y=2，
    所以，点B（4，0），C（0，2），
    令y=0，则ax2-3ax-4a=0，
    整理得x2-3x-4=0，
    解得x1=-1，x2=4，
    所以，二次函数的图象过B点，
    二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为A（-1，0）；

    （2）y=ax2-3ax-4a=a（x2-3x-4）=a（x-
    3
    2
    ）2-
    25
    4
    a，
    所以，抛物线的顶点坐标为（
    3
    2
    ，-
    25
    4
    a），
    当x=
    3
    2
    时，y=-
    1
    2
    ×
    3
    2
    +2=
    5
    4
    ，
    ∵二次函数图象的顶点在一次函数图象的下方，
    ∴-
    25
    4
    a＜
    5
    4
    ，
    解得a＞-
    1
    5
    ，
    ∴a的取值范围是-
    1
    5
    ＜a＜0；

    （3）存在．
    理由如下：∵二次函数的图象过点C，
    ∴a×02-3a×0-4a=2，
    解得a=-
    1
    2
    ，
    ∴抛物线解析式为y=-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2，
    ∵点A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
    ∴OA=1，OB=4，OC=2，
    ∵
    OA
    OC
    =
    OC
    OB
    =
    1
    2
    ，
    ∴△AOC∽△COB，
    ∴∠ACO=∠CBO，
    ∵∠CBO+∠BCO=90°，
    ∴∠ACO+∠BCO=90°，
    ∴△ABC是直角三角形，此时点D与点C重合，
    根据二次函数的对称性，当y=2时，-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2=2，
    整理得，x2-3x=0，
    解得x1=0，x2=3，
    ∴点D的坐标为（0，2）或（3，2）时，△ABD是直角三角形．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-4，0）．
    （1）求二次函数的解析式；
    （2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条非直径的弦，且AB∥CD，连接AD和BC，
    （1）AD和BC相等吗？为什么？
    （2）如果AB=2AD=4，且A、B、C、D四点在同一抛物线上，请在图中建立适当的直角坐标系，求出该抛物线的解析式．
    （3）在（2）中所求抛物线上是否存在点P，使得S△PAB=
    1
    2
    S四边形ABCD？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点，
    （1）求出m的值；
    （2）求抛物线与x轴的交点坐标；
    （3）直接写出x取何值时，抛物线位于x轴上方．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）
    A．-
    2
    3
    		B．-
    		2
    3
    		C．-2D．-
    1
    2

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式y=-
    1
    8
    x2+
    1
    2
    x+
    3
    2
    ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______米．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数y=x2-kx+3图象的顶点坐标为C，并与x轴相交于A、B，且AB=4，
    （1）求实数k的值；
    （2）若P是上述抛物线上的一个动点（除点C外），求使S△ABP=S△ABC成立的点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化．
    （1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
    （2）当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
    （参考公式：当x=-
    b
    2a
    时，二次函数y=ax2+bx+c（a0）有最小（大）值
    4ac-b2
    4a
    ）

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=
    1
    4
    x2    +1，点C的坐标为（-4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上．
    （1）写出点M的坐标；
    （2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．
    ①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
    ②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值．

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