Question

如图，在ΔABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，∠ACB以及外角∠ACD的平分线分别交MN于点E、F。

1.求证OE=OF

2.当点O运动到AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？回答并证明你的结论。

 

Answer 1

【答案】

 

1.见解析

2.见解析

【解析】证明（1）∵CE平分∠ACB

             ∴∠ACE=∠BCE………………………… 1分

             ∵MN//BC

             ∴∠OEC=∠BCE………………………… 2分

∴∠ACE=∠OEC

∴OE=OC ………………………… 3分

同理OF=OC………………………… 4分

∴OE=OF ………………………… 5分

（2）当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形。… 6分[来源:学*科*网Z*X*X*K]

证明：∵O为AC中点

      ∴OA=OC

      又OE=OF

∴四边形AECF为平行四边形………………………8分

∵OE=OC

∴2OE=2OC

即AC=EF  …………………………  10分

∴  平行四边形AECF为矩形………………………… 11分

或者：    ∵CE平分∠ACB     CF平分∠ACD

          ∴∠ACE=∠ACB   ∠ACF=∠ACD

          ∴∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACD）=×180^o=90^o

        ∴    平行四边形AECF为矩形。