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    15．在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又CD=AB，AD=BC，所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2（AB2+BC2）．
    小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你解决下列问题：
    （1）如图2，已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）；
    （2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；
    （3）如图4，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．试求AD的长．（结果用a，b，c表示）

    分析 （1）根据菱形的对角线互相平分且垂直以及勾股定理进行证明即可；
    （2）作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，证明AE=DF，BE=CF，根据矩形的性质证明即可；
    （3）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，构造平行四边形，由（2）的结论代入求值即可．

    解答 解：（1）如图2，设AC与BD相交于点O，
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB．
    在Rt△AOB中，由勾股定理，得
    OA2+OB2=AB2，
    ∴AC2+BD2=4OA2+4OB2=4（OA2+OB2）=4AB2，
    又∵AB=BC，
    ∴AC2+BD2=2（AB2+AB2）=2（AB2+BC2）；
    （2）小亮的猜想成立．
    证明：如图，3，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
    则∠AEB=∠DFC=90°．
    ∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AB=DC，AB∥CD，
    ∴∠ABE=∠DCF，
    ∴△ABE≌△DCF，
    ∴AE=DF，BE=CF．
    在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理得，
    AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
    BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，
    ∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．
    又∵AE2+BE2=AB2，
    故AC2+BD2=2（AB2+BC2）；
    （3）如图4，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，则AE=2AD，
    ∵BD=CD，
    ∴四边形ABEC是平行四边形．
    由（2）的结论，得
    AE2+BC2=2（AB2+AC2），
    即（2AD）2+a2=2（b2+c2），
    解得AD2=$\frac{1}{4}$（2b2+2c2-a2），
    故AD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2{b}^{2}+2{c}^{2}-{a}^{2}}$．

    点评 本题考查的是矩形、菱形和平行四边形的性质以及勾股定理的应用，掌握特殊平行四边形的性质定理和勾股定理是解题的关键，注意三角形的中线的性质的灵活运用．

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    A．x=-1，y=1B．x=1，y=-1C．x=-1，y=-1D．x=1，y=1

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    10．已知实数x，y满足|x-2|+$\sqrt{y+1}$=0，则x-y=3．

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    20．已知：平行四边形ABCD在直角坐标系中的位置如图，O是坐标原点，OB：OC：OA=1：3：5，S□ABCD=12，抛物线经过D、A、B三点．
    ①求A、C两点的坐标；
    ②求抛物线解析式；
    ③E是抛物线与DC交点，以DE为边的平行四边形，它的面积与ABCD面积相等，且另两顶点为P、N中有一个顶点P在抛物线上．求P点和N点的坐标．

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    4．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B，乙从A点出发向南偏西15°方向走60m至点C，则∠BAC的度数是（　　）
    A．85°B．160°C．125°D．105°

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    5．计算：
    （1）${（-2009）^0}+{（\frac{1}{2}）^{-1}}+{（-2）^3}$；
    （2）$2{a^2}b•（{-\frac{1}{2}a+{b^2}}）$；
    （3）（a+1）（a-1）-（a-1）2；
    （4）（3a+b-2）（3a-b+2）；
    （5）用简便方法计算：20112-2010×2012．

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