Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，-2），过B、C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴负半轴上，且PB=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，过M向直线BC作垂线，垂足为H．若M在y轴左侧，且△CHM∽△BOC，求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
将x=0，y=-2代入，得-2=a（0+2）（0-1），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+2）（x-1），即y=x²+x-2；

（2）如图1．由（1）知，抛物线的解析式为y=x²-x-2，则C（0，-2）．
设OP=x，则PB=PC=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x²+2²=（x+1）²，
解得，x=，即OP=；

（3）∵△CHM∽△BOC，
∴∠MCH=∠CBO．
（i）如图2，当点H在点C上方时．
由（2）知，PB=PC，
∴∠PCB=∠CBP，即∠PCB=∠CBO．
又∵∠MCH=∠CBO，即∠MCB=∠CBO，
∴∠PCB=∠MCB，
∴点M是线段CP的延长线与抛物线的交点．
设直线CM的解析式为y=kx-2（k≠0），
把P（-，0）代入，得-k-2=0，
解得，k=-，则直线CM的解析式是y=-x-2，
∴，
解得，（舍去），或，
∴M（-，）；
（ii）如图3，点H在点C下方时．
∵∠MCH=∠CBO，
∴CM∥x轴，
∴y_M=-2，
∴x²+x-2=-2，
解得x₁=0（舍去），x₂=-1
∴M（-1，-2）．
综上所述，点M的坐标是M（-，）或M（-1，-2）．
分析：（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x+2）（x-1），然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；
（2）设OP=x，然后表示出PC、PB的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；
（3）根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO．
（i）当点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；
（ii）当点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解．