Question

13．已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=-1，该抛物线与x轴的一个交点为（x₁，0），且0＜x₁＜1，有下列结论：①abc＞0；②9a-3b+c＞0；③b＜a；④3a+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据函数图象可得a、b、c的符号从而可以判断①是否正确；②由对称轴为直线x=-1，可知点（1，a+b+c），（-3，9a-3b+c）是抛物线是两个对称点，根据0＜x₁＜1，a＞0，判断点（1，a+b+c），所在的象限，可知点（-3，9a-3b+c）所在的象限，从而判断9a-3b+c的符号；
③由对称轴公式可知，-$\frac{b}{a}$=-1，即b=2a＞0，而0＜x₁＜1，抛物线开口向上，可知抛物线与y轴交于负半轴，c＜0，可判断b、c的大小关系；
④由②③可知，把b=2a代入a+b+c＞0得3a+c＞0．

解答 解：①∵由函数图象开口向上可得a＞0；顶点在y轴左侧可得a、b符号相同，故b＞0；函数图象与y轴交于负半轴，可知c＜0．
∴abc＜0，故①错误；
②∵0＜x₁＜1，
∴点（1，a+b+c）在第一象限，
又∵对称轴为直线x=-1，
∴（-3，9a-3b+c）在第二象限，故9a-3b+c＞0，故②正确；
③∵-$\frac{b}{2a}$=-1，∴b=2a，
∴b-a=2a-a=a＞0，
又0＜x₁＜1，抛物线开口向上，
∴抛物线与y轴交于负半轴，c＜0，
∴b＞a＞c，故③错误；
④把b=2a代入a+b+c＞0得3a+c＞0，故④正确；
故选B．

点评 本题考查二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是可以看懂二次函数的图象，根据图象可以判断a、b、c的符号，灵活变化，能够找出所求各结论需要的条件．